[Artículo de Luca C., traducido del italiano]
En Física Cuántica todo es
cuestión de números (…); esas
cosas no se comportan como
partículas, no son como haces
de materia o de energía (…);
se comportan como números.
John Von Neumann
Este es el segundo de los dos artículos dedicados a la armonía. El primero, “La Armonía y la Ciencia, Primera Parte”, publicado en enero, introdujo los nuevos conceptos que la ciencia [1] atribuye a los fenómenos vibratorios como siendo los arquetípos y los fundamentales para la aparición del Universo percibido.
En este artículo profundizaremos más, llegando a la esencia misma del Número, mostrando cómo los conceptos de Espacio y de Armonía están unidos por la misma esencia (en un nivel de abstracción más elevado) que da vida al ente Número. Cuando hablamos de conceptos físicos casi siempre podemos aferrarnos a nuestra intuición del mundo circundante para tener una imagen de lo que se está hablando; pero aquí ya no lo podemos hacer. Vamos a entrar en un mundo de pura abstracción y belleza, de elegancia y de absoluto orden jerárquico. Vamos a recorrer por donde Platón sitúa el “mundo de las ideas”, aquellas que no tienen forma, pero de las que se origina la forma. En vista de que los asuntos que vamos a tratar son difíciles, hemos intentado hacer la exposición lo más accesible posible; pero, de todas formas, se está hablando de matemáticas de vanguardia y de investigación pura. Debido a ello, en este artículo el nivel de complejidad sube un poco; pero si se abordan temas como la Ciencia de la Armonía en un contexto de exactitud científica, no puede ser de otra manera. Se mostrará cómo, a partir de teoremas y de las conjeturas matemáticas complejas, se puede llegar a las formulaciones coherentes considerando el aspecto relacional del ente Número, para luego, a través de puentes de abstracción adicional, unificar los conceptos de la Ciencia de la Armonía y de la Teoría de Números. Entonces, dejémonos envolver por la belleza y empecemos, ya que el camino por recorrer es largo.
En septiembre hace frío en la Königsberg prusiana, especialmente esa noche de 1930. Es el día 6 y un sábado. El sexto congreso de físicos y matemáticos alemanes está en sus etapas finales. Todas las intervenciones más importantes ya han tenido lugar y se está llevando a cabo, en una pequeña y desconocida sala del Gran Teatro de Königsberg, una sesión paralela, la última programada para este congreso. Gran parte de los presentes ya se han ido, porque ya era tarde en la noche y por el gran frío que hace fuera; y las pocas personas que quedan ya están pensando en la cena que viene o en cómo encontrar un transporte cómodo que las lleve a casa. En este contexto, sube al escenario un jovencísimo desconocido matemático, lógico y filósofo, que acaba de entregar su tesis doctoral y, con un tono de voz casi inaudible y tartamudeando, empieza a hablar.
¡Desde ese momento todo cambió!
Todo el castillo de las reconfortantes certezas matemáticas se ha desmoronado desde sus cimientos. El joven desconocido y tartamudo se llamaba Kurt Gödel y lo que presentó esa noche fue la demostración de los dos teoremas que se conocen como “Teoremas de Incompletitud Sintáctica”. Nombre que intimida, pero para entendernos basta decir que desde aquella noche de septiembre en Königsberg, los términos «Verdadero» y «Demostrable» en Matemáticas ya no son sinónimos. Las implicaciones técnicas y filosóficas fueron enormes, aunque no inmediatas. Hicieron colapsar el programa formalista de Hilbert y desmoronaron en su base esa enorme obra utópica axiomática de Whitehead y Russell que son los «Principia Mathematica«. ¡Pues bien! ¿Cómo afirma Gödel con sus teoremas que en Matemáticas una afirmación (una expresión aritmética) que es ciertamente verdadera no puede ser demostrada con los medios de la Aritmética? Esta bomba que estalló aquella noche de septiembre pasó desapercibida para los últimos presentes en la sala, excepto para uno de ellos. Un genio en matemáticas a quien la demostración presentada por Gödel le hizo dar un vuelco del corazón. Este matemático era John von Neumann. En aquella época se contaba en las academias la anécdota que decía «que los buenos matemáticos demuestran lo que pueden, von Neumann demuestra lo que quiere.» Esa noche de 1930, la demostración de los dos “Teoremas de Incompletitud Sintáctica” dejó a Von Neumann literalmente sin aliento y se cuenta que en las semanas siguientes permaneció siempre encerrado en su estudio, sin pronunciar una palabra y casi sin tocar bocado. Dar aquí una explicación técnica de cómo funciona la demostración que preparó Gödel es demasiado complicado. Lo único que necesitamos saber es que Gödel transformó las relaciones entre los constructos lógicos en relación con los constructos numéricos, de modo que se pudieran manipular números en lugar de símbolos. A cada símbolo sintáctico le hizo corresponder un número primo. Las fórmulas lógicas (que sintácticamente son secuencias de símbolos) se convirtieron en secuencias de números primos y las demostraciones lógicas, que sintácticamente son secuencias de secuencias de símbolos, se convirtieron en secuencias de secuencias de números primos. Este método inventado por Gödel se llama «aritmetización» o «gödelización». En lugar de demostrar teoremas (secuencias de secuencias sintácticas de símbolos), se trabaja (con la aritmética) con las relaciones entre las secuencias de secuencias de números primos. Aquí el Número se toma como una «Entidad» base, un elemento relacional que, sintácticamente, puede utilizarse para inferir, a primera vista, las relaciones que están ocultas a la vista. Gödel demostró que la Verdad es un concepto semántico, mientras que la Demostrabilidad es un concepto puramente sintáctico y que estos dos conceptos no están necesariamente siempre relacionados. Como hemos dicho antes, construyó aritméticamente (a través del método de la gödelización) una secuencia numérica «verdadera», pero no demostrable por medio de los métodos aritméticos.
Demos ahora un salto adelante de unos cuantos años. Estamos en Princeton y el ambiente es eufórico, como al final de cada semestre. Se celebra; y esa noche también el profesor coreano Kim Minh-Yong se estaba preparando para salir. Desde hace unos días ni siquiera le prestaba atención a su compañero de habitación, que febrilmente trabajaba en conceptos muy avanzados de matemáticas abstractas. Ideas que estaba desarrollando basándose en el trabajo de quien consideraba su maestro: Alexander Grothendieck. Minh-Yong saludó a su compañero de habitación, que obviamente no le devolvió el saludo, y salió.
Cuando esa noche regresó a altas horas de la madrugada, encontró a Shinichi Mochizuki, su compañero de habitación, en el suelo convulsionando y delirando. Decía frases inconexas, hablaba de la esencia última, del corazón más profundo de las matemáticas, de una sombra que debía permanecer velada «por el bien de todos nosotros». A duras penas, Minh-Yong logró acostar a su amigo y calmarlo hasta que se durmió. A la mañana siguiente, Shinichi no recordaba absolutamente nada de lo que había sucedido la noche anterior. Unos años después, exactamente el 31 de agosto del 2012, Shinichi Mochizuki publicó en su página web cuatro artículos con un total de unas 500 páginas. Estos artículos contenían, entre otras cosas, la demostración de una de las conjeturas más importantes de la Teoría de Números.
Durante años, Mochizuki había trabajado en casi total aislamiento desarrollando una teoría matemática completamente innovadora, que no se parecía a nada de lo que se conocía. Enseguida, otros matemáticos, los más cercanos a él, dado que Mochizuki no había publicado su trabajo, comenzaron a estudiar su demostración. Después de días y días de estudio, solo escribieron una frase: ¡Imposible de entenderla! Al año siguiente, en diciembre del 2013, se reunió en Oxford una comisión de expertos mundiales para intentar descifrar el trabajo de Mochizuki, quien mientras tanto se había encerrado aún más en sí mismo y se negaba a dar cualquier tipo de explicación sobre sus artículos. En los primeros días de trabajo de la comisión, pareció que las cosas empezaban a encajar y los conceptos iban tomando lentamente el lugar que les correspondía y parecía que el trabajo del japonés empezaba a tener sentido y a ser comprendido. Luego, de repente, todo se derrumbó. A partir de cierto punto, nadie pudo seguir el hilo del pensamiento de Mochizuki. Las mejores mentes matemáticas del planeta estaban perdidas. Dijeron que la nueva rama de las matemáticas que el japonés había creado para demostrar la ardua conjetura de la Teoría de Números era tan extraña, abstracta y adelantada a nuestro tiempo que parecía una matemática llegada directamente del futuro. Los mejores matemáticos del mundo quedaron de repente incapaces de hablar. El corazón de la demostración se basa en una serie de relaciones que son la base y el esqueleto esencial, último, de esa entidad que comúnmente llamamos Número. Estas relaciones, también aquí invisibles a una mirada superficial, nos transportan a un mundo abstracto tan lejano y de tan pura belleza «que se tiene la impresión de estar en presencia de lo divino». La teoría de Mochizuki tiene un nombre que infunde terror: Inter-Universal Teichmüller Theory (conocido por IUT). También aquí, como con Gödel, no podemos entrar en más detalles de esta complejísima teoría, pero lo que importa en la demostración de Mochizuki es el procedimiento y el hecho de que la esencia central del aparato demostrativo se refiere (como en Gödel) a la naturaleza más íntima de la entidad Número.
Ahora imaginémonos en el espacio, el espacio ordinario al que estamos acostumbrados todos los días. En este espacio —que desde un punto de vista local podemos pensar matemáticamente como plano y euclidiano, sin perder demasiada generalidad— no existe el concepto «estoy quieto». Porque, incluso si permaneciéramos perfectamente inmóviles, nos moveríamos de todos modos con relación a la coordenada temporal. Un segundo a la vez, hacia lo que, en nuestra limitada percepción lineal, llamamos futuro. Un espacio de este tipo, plano y euclidiano, que se aproxima a la estructura geométrica real del Universo, es descrito por el «Lambdoma» numérico:
(ya habrán intuido que la dimensión del Lambdoma es 4×4 porque vivimos en un espacio manifestado de cuatro dimensiones). En el espacio real, el que no es aproximado por la geometría euclidiana, el de la Relatividad General, para entendernos, las casillas del Lambdoma se llenan de fórmulas mucho más complejas. En Física, este tipo de Lambdoma se llama «métrica» del espacio-tiempo y define su geometría. En Matemáticas, la métrica es un objeto algebraico complejo llamado «Tensor Métrico», pero aquí no nos ocuparemos de él; digamos solo que cada espacio matemático y físico está descrito geométricamente por su tensor métrico, que sirve, al final, para calcular las distancias entre dos puntos en este espacio. En el espacio plano y euclidiano, como el descrito por el Lambdoma de arriba, la distancia entre dos puntos es un segmento de recta y se calcula cartesianamente con el teorema de Pitágoras.
Ahora tomemos una función matemática cualquiera, no importa qué forma tenga ni cuán compleja sea, y pensemos que esta función, que generalmente llamaremos f, describe alguna entidad inmersa en el espacio ordinario que imaginamos antes. Retrocedamos ahora tres siglos. Estamos en 1782 cuando el matemático francés Pierre-Simon Laplace está estudiando cómo, en determinadas condiciones, las funciones como la f que vimos antes varían en el espacio ordinario manifestado, y estaba especialmente interesado en comprender con qué «velocidad» f varía con respecto a las coordenadas cartesianas. Estos estudios del comportamiento de f lo llevaron a formular una relación matemática, una ecuación de este tipo L2f = 0.
Sin entrar en detalles, el símbolo L2 engloba una serie de operaciones matemáticas que «miden» con qué rapidez la función f modifica su forma de variar con respecto a las coordenadas cartesianas del espacio. Este símbolo, en honor a Laplace, se llama «Operador Laplaciano» [2]. Lo que nos interesa aquí es que, generalizando y abstrayéndonos del entorno físico, todas las funciones matemáticas f que se anulan una vez que se les aplica el operador laplaciano L2 se llaman «Funciones Armónicas«. Estas funciones tienen un comportamiento repetitivo al variar las coordenadas; de hecho, la ecuación de Laplace L2f = 0 también se llama ecuación de onda. Es importante aquí aclarar que la anulación del operador laplaciano aplicado a f significa que f es una solución de las operaciones contenidas en L2. Una de las soluciones de la expresión L2f = 0 es f = sin (seno) o también f = cos (coseno). Las funciones seno o coseno describen precisamente un comportamiento sinusoidal de las magnitudes sobre las que actúan, como se ve por ejemplo, en la figura de arriba. Entonces, la anulación del operador laplaciano identifica aquellas funciones f que tienen un comportamiento de naturaleza ondulatoria, armónica, cualesquiera que sean las magnitudes sobre las que actúa f. Así pues, hemos llegado a la definición matemática, abstracta, de la Armonía. La Armonía aquí es una idea, algo no tangible físicamente, un modelo del cual las formas pueden manifestarse, como por ejemplo, las leyes de la Armonía que definen el sonido; pero para entender qué relación tiene esto con la esencia del Número, hay que tener un poco más de paciencia y un poco más de atención, ya que ahora el nivel de dificultad sube un poco.
Cuando se habla de «simetría», más o menos todos tienen una idea de lo que se está hablando. Por ejemplo, algo especular es simétrico. Cierto, pero en matemáticas el concepto de simetría es algo más extenso y abstracto. Para ver cómo funciona la simetría en matemáticas, tomemos una mesa cuadrada vista desde arriba. Si lo giramos, digamos 45 grados, notamos sin duda que la mesa ya no está en la misma posición que antes. Por supuesto, esto es obvio. Pero si desde la posición inicial giramos la mesa en sentido antihorario (o en sentido horario, da igual) de 90 grados, esta parece exactamente en la misma posición de la que partimos, solo que el borde inferior derecho ahora está arriba a la derecha, pero la mesa parece exactamente igual que en la posición inicial. ¿Cuántas de estas rotaciones podemos hacer que dejen la posición de la mesa invariada a la vista? Cuatro. Solo podemos hacer cuatro rotaciones: 90 grados, 180 grados, 270 grados y 360 grados (la rotación de 360 grados de la mesa, como es de suponer, es idéntica a una rotación de 0 grados y se llama «identidad» en términos matemáticos). La mesa cuadrada presenta una «simetría rotacional discreta» y decimos en matemáticas que el conjunto de simetrías de la mesa contiene cuatro elementos: las rotaciones especificadas arriba. Ahora, si tomamos una de las rotaciones presentes en el conjunto de cuatro elementos de la mesa y la hacemos seguir por otra rotación también presente en este conjunto, siempre obtendremos un elemento del conjunto de las cuatro simetrías de la mesa; por ejemplo, si hago una rotación de 90 grados y luego una de 180 grados, obtengo el mismo resultado que si hubiera hecho una rotación de 270 grados desde el principio. Otro ejemplo: Si giro la mesa 180 grados y luego 270 grados, obtengo una rotación de 450 grados, lo que equivale a girar la mesa 90 grados (450 – 360). Realizar una rotación después de otra, en matemáticas se llama «composición» de las rotaciones. Además de girar la mesa en sentido antihorario, podemos decidir componer dos rotaciones: una en sentido antihorario y otra en sentido horario. Por ejemplo, puedo decidir girar la mesa en sentido antihorario 270 grados y luego en sentido horario 90 grados, obteniendo una rotación final de 180 grados. Si al componer dos rotaciones, una en sentido antihorario y otra en sentido horario, obtengo la simetría «identidad», es decir, vuelvo a la posición de partida, como si no hubiera aplicado ninguna rotación, entonces defino lo que se llama simetría “inversa”. Ahora demos una definición importante: Un conjunto cuyos elementos sean simétricos y que tenga las tres «estructuras algebraicas» como las definidas para la mesa, es decir, la estructura de existencia de la simetría «identidad», la estructura de la «composición» de las simetrías y la estructura de la simetría «inversa», entonces lo que tengo en mis manos es lo que en matemáticas se llama «Grupo». Un grupo no necesariamente tiene un número finito de elementos de simetría; por ejemplo, consideremos el grupo de rotaciones de una mesa redonda: en este caso, cualquier ángulo infinito entre 0 y 360 grados es un elemento del conjunto de simetrías de la mesa redonda [3]. Ahora que sabemos dominar la definición de Grupo, consideremos aquel en el que los elementos del conjunto de simetrías son todos los puntos de un espacio continuo (suave y sin agujeros ni discontinuidades) con características particulares, es decir, un espacio donde, por ejemplo, sea posible aplicar el operador laplaciano L2 visto anteriormente [4].
Un grupo que tiene estos puntos como elementos del conjunto de simetría se llama Grupo de Lie, en honor al matemático noruego Sophus Lie, quien lo introdujo alrededor de 1870. Además del Grupo de Lie, también nos interesa otro grupo: el Grupo de Galois, llamado así por el matemático francés Évariste Galois, quien fue el primero en estudiar las simetrías en el campo numérico. Lleguemos a la definición de Grupo de Galois paso a paso. Tomemos el conjunto de los números Naturales, para entendernos, los números que usamos todos los días para contar. Como sabemos de la escuela primaria, en este conjunto podemos realizar las cuatro operaciones: Suma, 
Resta, Multiplicación y División. El conjunto de los números Naturales es «cerrado» con respecto a solo dos de estas operaciones: la Adición y la Multiplicación. De hecho, al sumar dos o más números Naturales siempre se obtiene un número Natural, así como al multiplicar dos o más números Naturales siempre obtenemos un número Natural. ¿Qué sucede ahora si restamos un número natural mayor de uno menor? Sucede que salimos del conjunto de los Números Naturales porque obtenemos un número negativo que no es un número Natural. Añadiendo los números negativos como una «extensión» al conjunto de los números Naturales, obtenemos el conjunto de los números Enteros [5]. Cuando a un conjunto numérico (como los números Naturales) le añadimos una extensión (como los números negativos), obtenemos lo que se llama un «Campo Numérico». Ahora bien, un es un Grupo cuyos elementos del conjunto de simetrías están formados por los elementos que representan la extensión que forma un Campo Numérico. Para este artículo, los Grupos de Lie, junto con los Grupos de Galois, nos interesan porque son estudiados por una rama de las matemáticas llamada Teoría de la Representación, que estudia las estructuras algebraicas particulares, como precisamente los Grupos. En particular, la Teoría de las Representaciones estudia cómo los Grupos en general (y en particular el Grupo de Lie y Galois) pueden ser «representados» mediante transformaciones lineales (es decir, una transformación que toma un objeto y lo transforma en otro objeto, manteniendo intacta la estructura algebraica interna) en espacios vectoriales [6]. Las Representaciones permiten construir objetos abstractos que nos ayudan a estudiar cómo un Grupo (o más abstractamente, un Álgebra) actúa y transforma un espacio vectorial. Aquí no debemos dejar escapar un cambio profundo de visión. Mientras que los Grupos representan entidades matemáticas «estáticas», con sus elementos y con las relaciones algebraicas de identidad, composición y simetría inversa, las Representaciones se enfocan en aspectos dinámicos, de transformación, exactamente como ocurría con el operador Laplaciano que «representaba» un movimiento de variación de una función con respecto a su «extensión» cartesiana y que servía para definir una Función Armónica. Para las transformaciones geométricas de los campos vectoriales, la Teoría de la Representación se basa en el Grupo de Lie de simetrías sobre el espacio vectorial, a través del cual también se caracterizan las Funciones Armónicas, mientras que para las transformaciones numéricas sobre los campos numéricos, la Teoría de la Representación se basa en el Grupo de Galois que actúa sobre el Campo Numérico en cuestión. Ahora, sin entrar en detalles demasiado complicados, del estudio de las Representaciones del Grupo de Lie y del estudio de las Representaciones del Grupo de Galois surgen entidades esenciales comunes que se denominan Formas Automórficas. Estas entidades abstractas incorporan algunas de las ideas esenciales que subyacen tanto a la Geometría Algebraica (la rama de las matemáticas que también define las funciones armónicas), como a la Teoría de Números.
Estas entidades abstractas están hechas de puras relaciones. Aquí lo que importa no es el tipo de objeto al que se aplican, sino las relaciones que se tejen entre estos objetos. No importa si estamos hablando del Espacio, con su Lambdoma métrico, del Número o de la Armonía, cada uno de estos campos de aplicación tiene una Representación Automórfica común que reside en un nivel de abstracción más alto del cual descienden las manifestaciones específicas. Estas entidades tan abstractas se construyen y describen en la teoría de Teichmüller interuniversal de Mochizuki, de la que hablamos al principio, y tienen un nombre, se llaman Frobenioid. A día de hoy, la IUT sigue siendo objeto de estudio por parte de las mentes matemáticas más importantes del mundo; algunas cosas se han entendido, otras siguen siendo un misterio. ¿Se llegará a descubrir qué quería decir Mochizuki cuando dijo que “algunas cosas deberían permanecer veladas por el bien de todos nosotros”? El hecho es que aún hoy, más que entonces, Shinichi Mochizuki se niega a hacer cualquier comentario sobre este trabajo que casi lo llevó a la locura. También sus artículos fueron retirados de su página web personal con la prohibición por parte de Mochizuki de publicarlos en su forma original y en cualquier otra forma [7]. Afortunadamente, los originales aún existen en las academias y siguen siendo objeto de profundo estudio e investigación de vanguardia por parte de la comunidad matemática. Otra rama de las matemáticas, la Lógica Categórica, mostraría que estas Representaciones Automórficas también pueden aplicarse a la demostración de Gödel sobre la incompletitud sintáctica, cosa que ayudaría al trabajo de abstracción sobre la dicotomía entre semántica y sintaxis, Verdad y Demostración, ya formalizada por Gödel con su trabajo de 1930, unificando así bajo una teoría común, la Geometría Algebraica, la Teoría de Números y la Lógica Matemática.
Como es fácil intuir, la que se enseña en las escuelas no tiene nada que ver con la matemática real, aquella a la que los estudiosos dedican su existencia en estudios e investigación. Es como si en las escuelas de arte solo llamaran arte a la técnica de pintar una pared, sin mencionar a Leonardo, Miguel Ángel ni a otros grandes artistas que dieron dignidad a su disciplina; así es también con las matemáticas. Los números no son solo herramientas cuantitativas que sirven para contar, como nos enseñan en la escuela. Sobre esta falsa idea, muchos, creyendo que las matemáticas se limitan a eso (a su esterilidad didáctica), y sin tomarse la molestia de ir más allá, en su limitación critican a las academias sin saber el enorme trabajo de los estudios e investigaciones que requieren las matemáticas modernas. Con respecto a los estudios esotéricos de la Armonía, lo que aquí se presenta lo aborda desde una perspectiva sapiencial diferente, el estado del arte de la investigación científico-matemática moderna que con herramientas y tiempos diferentes llegará a decir las mismas cosas que ya sabían los antiguos. La abstracción matemática nos lleva a mundos de una belleza tan esencial que es como haber escapado de la Caverna de Platón y haber llegado cara a cara con la Verdad pura. El sentido de las matemáticas es el mismo que el del arte, a saber: la creación de belleza intrínseca. Es la belleza, no la utilidad, la verdadera justificación de las matemáticas. Las formas creadas por el matemático, como las creadas por el pintor o el poeta, deben expresar belleza. Por lo tanto, no necesitamos crear nuevas aritméticas o geometrías con nombres grandilocuentes o teorías estrambóticas sobre los números. Todo lo que necesitamos ya está aquí. Y muchas otras cosas nos esperan, aún veladas. Todo un mar para navegar y descubrir. ¡Una gran aventura!
[1] Para entendernos sobre los términos que en esta disciplina deben ser necesariamente precisos, aquí y en artículos similares, por «ciencia» se entiende solo la acepción reconocida por el diccionario, que indica que: «La ciencia es el conjunto de disciplinas basadas esencialmente en la observación, la experiencia, el cálculo, o que tienen por objeto la naturaleza y los seres vivos, y que se valen de lenguajes formalizados.»
[2] Aquí el enlace para más información sobre este operador:
https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano
[3] De hecho, este Grupo se llama Grupo de la Circunferencia.
[4] No es en absoluto obvio que todos los espacios tengan esta característica. Técnicamente, el espacio debe ser continuo e infinitamente diferenciable en cada punto. Un espacio de este tipo se llama Variedad Diferenciable. Por ejemplo, una línea con discontinuidades o con puntos de cúspide (una cúspide es un punto donde una curva cambia bruscamente de dirección, como por ejemplo la cima puntiaguda de una montaña en comparación con la suavidad de la redondez de una colina) no es diferenciable en las discontinuidades y las cúspides y, por lo tanto, no es una Variedad Diferenciable.
[5] Para la operación de división ocurre lo mismo, obteniendo una extensión de los números Naturales que llamamos Números Racionales.
[6] Recordemos aquí la diferencia entre espacio escalar y espacio vectorial. Un espacio vectorial es, por ejemplo, el de las temperaturas: A cada punto del espacio se le asocia un número que representa una temperatura. Un espacio vectorial, por ejemplo, es el de los vientos: En cada punto del espacio, además de un número asociado a la intensidad del viento, también se asocia una dirección.
[7] En esta página web es posible encontrar los cuatro artículos de la IUT en la versión revisada de 2020.:
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
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